原因らしきものを掴めました (と思ったらまだダメでした)。

状況としては、

• wp-cron.php を system の cron で curl で呼び出す
• 他の wp-cron で起こされるプロセスは動作している
• LiteSpeed Cache プラグインのクローラーだけが動作しない
• 手動でクローラーの cron を起こすと一度だけクロールする
• 次のクロールの待ちの状態で止まっている
• 再度手動でクローラーの cron を動かすと、こちらも一度だけクロールする。
• たまに複数のクロールが実行される場合もある

と分かりにくい状況でした。

対策は、WordPress のハートビートを有効にすることでした。

標準設定でハートビートを有効にすれば、実行する時間に到達すればクローラーが動き出し、順次クロールが進み、全て終了すれば待機状態になりました。

これで大丈夫だと思います。とりあえず12時間後に動作させてみて、正常に機能するかどうかを確認します。動作が正常であれば、間隔をデフォルトの値まで伸ばします。

追記：この設定変更では直りませんでした。もう少し調査します。